Spørsmål om røtter

[eecs4ever]

Anta at et polynom p (x) har reell coeficients.

og hvis Z1 er en rot til p (x).Z1 kan være komplisert.
bevise konjugatet av z1 er også en rot.

hvis Z1 er reell, så z1 konjugert = z1, og beviset er fullført.
Hva med hvis z1 er kompleks?

 

[jayc]

Hvis roten z1 er kompleks og koeffisientene til polynomet er reelt, må liksom bli kvitt den komplekse delen av rot når det er multiplisert med andre røtter.

for eksempel hvis f (x) har komplekse røtter Z1, Z2, Z3, ...:

f (x) = (x-Z1) * (x-z2 )*....

Bare multiplisere ut de første 2 betingelsene, får vi

f (x) = (x ^ 2 - z2 * x - z1 * x z1 * z2 )*....

For polynom koeffisientene til å være ekte, må det være sant at

(z2 z1) er reell og z1 * z2 er reell.Dette kan bare oppnås hvis z2 og z1 er komplekse conjugates.
, so any even degree polynomial can have all of its roots be complex.

Det er også lett å se at de komplekse røttene bare komme i konjugert parvis,
slik at noen engang grad polynom kan ha alle sine røtter være komplekst.Hvis det er et odde antall treff, må det ekstra merkelig roten være ekte.

Utgangspunktet for ideen er at den eneste måten å få et reelt resultat når røttene multipliseres sammen, røttene må være kompleks konjugerte par.

 

[eecs4ever]

jayc, din intuisjon god.

heres et bevis jeg fant på nettet.Dette er mer rigorøs.
Beklager, men du må logge inn for å vise dette vedlegget